向量之间投影模的乘积为何等于向量之间的点积
问题描述
Dot products and duality | Essence of linear algebra, chapter 9
求证：
$$ \vec v \cdot \vec w =|\vec v| \cdot| \vec w|\cdot cos\theta $$
如图：
证明
问题转换
首先，要明白一个事实：将空间内的某一向量$\vec w$向另一向量$\vec v$ 的投影可以认为是一种线性变化linear transformations，即将多维向量$\vec w$转化为一维向量（数）$|\vec w|$。也可表示为：
$$
\begin{bmatrix}x_1 & x_2 &\cdots &x_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix}w_1 \\ w_2 \\ \cdots \\ w_n \ \end{bmatrix} =(x_1w_1+x_2w_2+\cdots + x_nw_n)
$$
因此，可认为向量$\vec v$ 的投影是一种线性变换，公式前半部分是$1\times n$的矩阵。所以我们将证明公式前半部分$\begin{bmatrix}x_1 & x_2 &\cdots &x_n \end{bmatrix} $，其实就是向量$\vec v$ 的转置$\begin{bmatrix}v_1 & v_2 &\cdots &v_n \end{bmatrix} $。
如何表示这种线性变换？
在把投影看作是线性变换的前提下，对于二维空间内，任意一个向量向$\vec u$ 方向上的投影长度，均可认为是通过某一线性变换的矩阵变换得来的。即问题为如何求这个变换矩阵？
基向量
在求解之前还需要知道：用于变换的矩阵的各个列向量实际上为原始空间的基向量线性变换后的基向量。
$\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 &1 \end{bmatrix}$表示一个单位阵，即作用在任何一个向量[?,?]上，仍然会得到[?,?]，该矩阵的列向量即是初始的基向量(二维)[1,0]和[0,1]。
因此问题转化为：如何将二维的基向量转化为$\vec u$ 方向上(一维)的基向量。因为如果知道线性变换前后基向量的变化情况，就可以求出对应的线性变换矩阵。
求解
如上图，$\hat{u}$为$\vec u$方向上的单位向量，即模长为1。该向量向x轴的投影长度为该向量在x轴上的坐标。根据$\hat{u}$到x上的投影长度等于x在$\hat{u}$上的投影长度，可以求出原始二维空间x方向上的基向量[1,0]，经表示投影的线性变换矩阵变换为$\hat{u}$的横坐标$u_x$。同理可得，原始二维空间y方向上的基向量[0,1]，经表示投影的线性变换矩阵变换为$\hat{u}$的纵坐标$u_y$。也即表示该投影的线性变换矩阵为$\begin{bmatrix}u_x&u_y\end{bmatrix}$。
$$
|\hat{u}| \cdot| \vec w|=\begin{bmatrix}u_x&u_y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}w_1 \\w_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u_x \\ u_y\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}w_1 \\w_2\end{bmatrix}
$$
其次，当$\hat{u}$非单位向量时，即$\vec u$=$\lambda \hat{u}$，结论也成立。
$$
|\vec u| \cdot |\vec w|=\lambda |\hat{u}| \cdot| \vec w|=\begin{bmatrix}\lambda u_x & \lambda u_y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}w_1 \\w_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda u_x \\ \lambda u_y\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}w_1 \\w_2\end{bmatrix}
$$
将u替换为v即证明部分的结论。
同时也可以证明高中的知识：$ \vec v \cdot \vec w =|\vec v| \cdot| \vec w|\cdot cos\theta $
总结
两个向量$ \vec v \cdot \vec w $ 之间的点积可以认为是一个矩阵$ v^T $对一个向量$\vec w $ 的线性变换，也被视为该向量$\vec w $对另一向量$\vec v $的投影。二者的数值计算结果一致，引发了对此的思考。
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