向量之间投影模的乘积为何等于向量之间的点积 问题描述 Dot products and duality | Essence of linear algebra, chapter 9 求证：$$ \vec v \cdot \vec w =|\vec v| \cdot| \vec w|\cdot cos\theta $$ 如图： 证明 问题转换 首先，要明白一个事实：将空间内的某一向量$\vec w$向另一向量$\vec v$ 的投影可以认为是一种线性变化linear transformations，即将多维向量$\vec w$转化为一维向量（数）$|\vec w|$。也可表示为：$$\begin{bmatrix}x_1 & x_2 &\cdots &x_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix}w_1 \\ w_2 \\ \cdots \\ w_n \ \end{bmatrix} Read more…
如何在网页中正常显示数学公式 利用 MarkDown编写数学公式时，有两种方式：第一种行内显示$…$，第二种为行间显示$$…$$，When $a \ne 0$, there are two solutions to $(ax^2 + bx + c = 0 $and they are$$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.$$ 但web端则不能对数学公式进行显示，因此需要添加插件。 MathJax MathJax是一个开源JavaScript显示引擎，用于LaTeX、MathML和ascimath符号，可在所有现代浏览器中使用。 使用方式 直接调用 下载后调用 当然也可以把js下载到服务器，加快加载速度，网址：https://github.com/mathjax/MathJax<script src=”/MathJax-master/es5/tex-chtml.js” id=”MathJax-script” async></script> 无法正常显示行内$…$问题 MathJax使用LaTeX数学定界符，用\(…\) 来显示行内公式，用\[…\] 来显示行间公式.它也识别 TeX的 分隔符 $$…$$ 来显示行间公式,。由于美元符号在非数学环境中出现的频率太高，这可能会导致某些文本意外地被视为数学，所以并不支持将$…$定义为内嵌数学分隔符。因此需要设置：
SVD Singular Value Decomposition 奇异值分解 直接感受：将一个矩阵写成以下形式$$A = U\Sigma V^T$$其中A为需要奇异值分解的矩阵，\(\Sigma\)为对角矩阵，由奇异值组成对角线，其它元素均为0。U 称为左奇异矩阵，V称为右奇异矩阵。$U \in R^{m\times m},\ \Sigma \in R^{m\times n},\ V \in R^{n\times n}$ 用途：可以应用于数据降维，如PCA、图片压缩处理等 SVD基于特征值分解 Eigendecomposition EVD 在python numpy 库中，可以分别用numpy.linalg.svd()求得,使用方式: U,Sigma,VT = np.linalg.svd(A) 特征值分解 EVD 将一个矩阵写成以下形式:$$A = U\Sigma U^T$$其中A为需要奇异值分解的矩阵，\(\Sigma\)为对角矩阵，由特征值组成对角线，其它元素均为0。U为特征值对应的特征向量组成的特征矩阵，并且为正交矩阵，$UU^T = E$ 在python numpy 库中，可以分别用numpy.linalg.eig()求得,使用方式: U,Sigma = np.linalg.eig(A) 数学原理 定义 设A是n阶矩阵，如果数\(\lambda\)和n维非零列向量\(\boldsymbol{x}\)使关系式：$$A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$$成立，那么这样的数\(\lambda\)称为矩阵A的特征值，非零向量\(\boldsymbol{x}\)称为A的对应于\(\lambda\)的特征向量。 求解 解特征值，特征向量 Read more…
Preprocessing data 数据集的标准化是许多机器学习方法的一个共同要求，学习算法受益于数据集的标准化。sklearn.preprocessing模块提供了几种常用的函数和数据变换的类来将原始特征向量转换成更适合下游机器学习方法的数据集。 标准化方法和函数 在实际应用中，我们常常忽略分布的形状，而只是通过去除每个特征的平均值来将数据转换为中心，然后用非常量特征除以其标准差来缩放它。零-均值规范化：也称标准差规范化，将数据标准化为均值为0，标准差为1。Z-Score,公式为：$$x^*=\frac{x-x^-}{\sigma}$$ StandardScaler 实现Transformer API来计算训练集上的平均值和标准差，以便以后能够在测试集上重新应用相同的转换。 MinMaxScaler and MaxAbsScaler 适用于缩放稀疏数据MinMaxScaler:最小最大规范化，离差标准化$$x^*=\frac{x-min(x)}{max(x)-min(x)}$$ 同样可以利用transform方法对其他数据进行同样操作 MaxAbsScaler RobustScaler Scaling data with outliers离群值归一化